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Schnittmenge Vereinigungsmenge Beispiel Essay

In diesem Text behandeln wir die verschiedenen Artenund Beziehungender Mengen zueinander. Beispiele hierfür sind etwa die Schnittmenge, leere Menge oder Vereinigungsmenge.

Damit du dieses Kapitel komplett verstehst, solltest du dich schon mit dem Kapitel Mengen und Elemente auseinandergesetzt haben.

Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen

Wir haben gelernt, wie die einzelnen Objekte in einer Menge heißen und dass eine gewisse Anzahl von ihnen eine Menge ausmachen. Ein Beispiel war die Menge der natürlichen Zahlen, geschrieben: $M = \{1,2,3,..., \infty \}$. Es gibt aber auch Mengen, die kleiner als die Menge der natürlichen Zahlen ist und sogar eine Menge, die gar keine Elemente beinhaltet.

Die leere Menge

Eine Menge, die keineinzigesElement enthält nennt man leereMenge. Da diese Menge keine Elemente enthält, hat sie die Mächtigkeit $0$. Man schreibt für die leere Menge zwei geschweifte Klammern ohne Inhalt.

Diese Mengen sind unter anderem bei Funktionen ohne Lösungen zu finden, wo das $x$ also nicht aufgelöst werden kann.

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Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält. Ihre Mächtigkeit ist $0$.

$M = \{\}$.

Teilmenge/Obermenge

Die Teilmenge ist eine weitere Art der Mengen in der Mathematik. Sie bezeichnet den Zustand, wenn eine Mengekomplettin einer anderen Menge liegt und somit eine Teilmenge der größeren Menge ist. Hier ein Beispiel:

Gegeben ist die Menge $M = \{1,2,3,4,5\}$

Diese Menge $M$ ist eine Teilmenge der Menge der natürlichenZahlen. Geschrieben wird es:

$M \subseteq ℕ$. Die natürlichen Zahlen werden hierbei Obermenge genannt.

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Eine Menge heißt Teilmenge, wenn sie komplett Teil einer anderen Menge ist. Die größereMenge der beiden wird hierbei Obermenge genannt.

$A \subseteq B$

Schnittmenge

Die Schnittmenge oder auch Durchschnittsmenge bezeichnet die Menge von Elementen, die gleichzeitig in zwei Mengen enthalten sind, ohne dass die Mengen Teilmengen sind. Zeigen wir das Ganze an einem Beispiel:

Es sind die Mengen $M$ und $N$ gegeben. Die Menge $M$ enthält die Zahlen $\{1,2,\textcolor{green}{3,4,5}\}$, die Menge $N$ die Zahlen $\{\textcolor{green}{3,4,5},6,7\}$. Somit sind die Zahlen $\{\textcolor{green}{3,4,5}\}$ die Schnittmenge der beiden Mengen. Man schreibt:

$A \; \bigcap B$

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Die Schnittmenge ist die Menge der Zahlen, die sich in zwei verschiedenen Mengen befinden. Hierbei sind beide Mengen nicht identisch oder Teilmengen zueinander. Man schreibt:

$A \; \bigcap B$

Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge ist, wie der Name schon vermuten lässt, eine Kombination beiderMengen zu einer großen Menge. Hierbei kann es auch vorkommen, dass einzelne Elemente in beiden Mengen vorhanden sind. Diese werden jedoch immer nur einmal gezählt. In einer Formel schreibt man dann:

$A \cup B$

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Die Vereinigungsmenge ist die Summe von zweiMengen. Doppelte Elemente werden einzeln gezählt.

$A \cup B$

Gleichheit von Mengen

Unter der Gleichheit von Mengen versteht man den Zustand, wenn zwei Mengen vorhanden sind, die exaktdieselbenElemente beinhalten. Man schreibt $A = B$.

Differenz und Komplement

Zuletzt betrachten wir die Differenz bzw. das KomplementzweierMengen. Der Name Differenz gibt auch hier wieder einen Tipp, wie die Lösung aussehen muss, denn die Differenz ist die Menge A, in der keine Elemente aus Menge B enthalten sind. Man sagt dann $A  ohne  B$. Folgend ein Beispiel:

Gegeben sind die Mengen $A = \{1,2,3,4,5 \}$ und $B = \{4,5,6,7,8\}$.

Die Differenz der beiden Mengen ist:

$A \backslash B = \{1,2,3\}$, denn die Elemente $4$ und $5$ sind Teil der Menge $B$ und fallen somit weg.

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Die Gleichheit von Mengen besagt, dass zwei Mengen mit denselben Elementen, eine Menge ist. Man schreibt:

$A = B$

Die Differenz bzw. das Komplement zweierMengen ist die Differenz beider Mengen. Doppelte Elemente fallen hierbei weg. Man schreibt:

$A \backslash B$

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!

Du kennst bereits Begriffe wie Ereignis und Gegenereignis. In diesem Lerntext führen wir zwei neue Begriffe ein, die dir bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft begegnen werden: Vereinigungs- und Schnittmenge. Im Gegensatz zum Ereignis/Gegenereignis helfen dir Vereinigung und Schnitt erst bei schwierigeren Zufallsversuchen weiter.

Die Schnittmenge

Ereignisse eines schwierigen Zufallversuchs hängen von mehr als einer Bedingung ab. Was genau soll das heißen? Du kennst wahrscheinlich bereits Zufallsversuche, die sich auf eine einzelne Eigenschaft konzentrierten:

  • beim Werfen eines Würfels geht es um die Augenzahl
  • beim Ziehen einer Kugel geht es um die Farbe
  • beim Münzwürf geht es um die Symbole Kopf oder Zahl

Betrachten wir folgendes Beispiel: in einem Behältnis liegen grüne und rote Kugeln, auf denen Zahlen von 0 bis 9 stehen. Beim zufälligen Ziehen einer solchen Kugeln kannst du jetzt zwei Eigenschaften untersuchen: Farbe und Zahl.

Beispiel: Ziehen einer Kugel

Wir können für das einmalige Ziehen einer Kugel also zwei verschiedene Ereignisse formulieren:

  • Ereignis 1: E = Die Kugel trägt höchstens die Zahl 5 
  • Ereignis 2: F = Es ist eine rote Kugel

Die jeweiligen Ereignismengen sehen dann wie folgt aus:

  •  E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
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Problem:

Da wir zwei Eigenschaften gleichzeitig betrachten, können wir die Wahrscheinlichkeit nicht einfach ausrechnen.

Die zwei Ereignisse E und F lassen sich aber zusammenführen, indem wir die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer Kugel suchen, die rot ist und nicht größer als 5.

Wir führen die beiden Ereignisse zusammen und verknüpfen sie mit einem und . In der Mathematik haben wir für "und" ein eigenes Symbol: $ \cap$

Wir schreiben also:

$E\ und\ F = E \cap F $= {0, 2, 3}

Nur die Kugeln auf denen die 0, die 2 und die 3 abgebildet sind erfüllen die gegebenen Bedingungen rot und nicht größer als 5 zu sein.

Nur durch das Zusammenführen der beiden Ereignisse können wir überhaupt erst die Wahrscheinlichkeit ausrechnen:

$E \cap F$ = {0, 2, 3} = $\frac{3}{10} = 0,3 = 30 \%$

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Bei einem Zufallsversuch, bei dem zwei Eigenschaften betrachtet werden, gilt:

Alle Ergebnisse, die sowohl in der einen (E) als auch in der anderen Ereignismenge (F) liegen, bilden die Schnittmenge $E \cap F$.

Die Vereinigungsmenge

Betrachten wir noch einmal unser Beispiel:

  • Ereignis 1: E = Die Kugel trägt höchstens die Zahl 5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
  • Ereignis 2: F =Es ist eine rote Kugel =  {0, 2, 3, 8}

Wir kennen bereits die Schnittmenge, bei der die beiden Ereignisse mit einem "und" verknüpft werden.

Bei der Vereinigungsmenge setzten wir an die Stelle des "und"  ein "oder" , das in der Mathematik so aussieht: $\cup$

Die Kombination der beiden Ereignisse E und F lautet also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Kugel zu ziehen, die rot ist oder höchstens gleich 5 ?

$E\ oder\ F = E \cup F $= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 8}

Wie schon bei der Schnittmenge können wir erst durch das Vereinigen beider Ereignisse die Wahrscheinlichkeit rechnerisch ermitteln:

$E\ oder\ F = E \cup F $= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 8} =$ \frac{7}{10} = 0,7 = 70 \%$

WICHTIG: Die Vereinigungsmenge enthält auch die Elemente der Schnittmenge $E \cap F$ = {0, 2, 3}.

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Bei einem Zufallsversuch, bei dem zwei Eigenschaften betrachtet werden, gilt:

Alle Ereignisse, die in der einen (E) oder der anderen Ereignismenge (F) oder in beiden ($E \cap F$) liegen, bilden die Vereinigungsmenge $E \cup F$.

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